Calculadora de distribución de Poisson

Esta calculadora de distribución de Poisson obtiene la probabilidad de que un suceso ocurra exactamente k veces en un intervalo cuando conoces su tasa media λ. Devuelve P(X = k), la probabilidad acumulada P(X ≤ k), la probabilidad de k o más P(X ≥ k) y las desigualdades estrictas, con cuatro decimales.

Es útil para resolver ejercicios de probabilidad en la universidad y para modelar conteos en un TFG o una tesis: llegadas a urgencias, errores por página, incidencias por semana. Si en lugar de un intervalo tienes un número fijo de ensayos, usa la calculadora de distribución binomial.

Qué es la distribución de Poisson

La distribución de Poisson es un modelo de probabilidad discreto que describe cuántas veces ocurre un suceso en un intervalo fijo de tiempo o de espacio, cuando los sucesos son independientes y se producen con una tasa media constante λ. Se aplica a fenómenos en los que cada ocurrencia individual es poco probable, pero el intervalo es lo bastante amplio como para que se produzcan varias.

• Llamadas recibidas en una centralita por hora.
• Erratas por página de un libro.
• Clientes que llegan a una tienda en un día.
• Accidentes en un cruce por semana.
• Llegadas a un servicio de urgencias en un turno.

Para que el modelo sea válido deben cumplirse tres condiciones: los sucesos son independientes entre sí, la tasa media es constante en el intervalo y la probabilidad de que ocurran dos sucesos en el mismo instante es prácticamente nula. Una propiedad característica es que su media y su varianza son iguales a λ; si en tus datos la varianza es mucho mayor que la media (sobredispersión), el modelo de Poisson no encaja bien.

Fórmula de la distribución de Poisson

La probabilidad de observar exactamente k sucesos cuando la tasa media es λ es:

P(X = k) = e^−λ · λ^k / k!

• e: número de Euler (aproximadamente 2,71828).
• λ: número medio de sucesos en el intervalo (λ > 0).
• k: número de sucesos (0, 1, 2…).
• k!: factorial de k; por convención, 0! = 1.

La acumulada se obtiene sumando: P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k), y la probabilidad de k o más es su complemento: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). La calculadora trabaja con logaritmos y la función gamma para evitar desbordamientos con valores grandes de λ o de k.

Cómo interpretar los resultados

Resultado	Qué significa
P(X = k)	Probabilidad de exactamente k sucesos.
P(X ≤ k)	Probabilidad de k sucesos o menos (como máximo k).
P(X ≥ k)	Probabilidad de k sucesos o más (al menos k).
P(X < k)	Probabilidad de menos de k sucesos; es igual a 1 − P(X ≥ k).
P(X > k)	Probabilidad de más de k sucesos; es igual a 1 − P(X ≤ k).

Fíjate en las palabras del enunciado: «como máximo» y «no más de» corresponden a P(X ≤ k); «al menos» y «como mínimo», a P(X ≥ k); «más de», a P(X > k).

Ejemplo resuelto de distribución de Poisson

A un servicio de urgencias llegan de media 3 pacientes por hora. Quieres conocer varias probabilidades para la próxima hora con λ = 3 y k = 2, que son los datos precargados.

1. Probabilidad de exactamente 2: P(X = 2) = e⁻³ · 3² / 2! = 0,049787 · 9 / 2 = 0,2240.
2. Probabilidades de 0 y 1: P(X = 0) = 0,0498 y P(X = 1) = 0,049787 · 3 = 0,1494.
3. Acumulada: P(X ≤ 2) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232.
4. Dos o más: P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0,1991 = 0,8009.

Conclusión: hay un 22,40 % de probabilidad de que lleguen exactamente 2 pacientes, un 42,32 % de que lleguen 2 o menos y un 80,09 % de que lleguen al menos 2. La probabilidad de que lleguen más de 2 es 0,5768.

Poisson o binomial: cuál usar

Usa la distribución binomial cuando hay un número fijo de ensayos (n), cada uno con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito p; por ejemplo, contar caras en 10 lanzamientos de una moneda. Usa la de Poisson cuando cuentas sucesos en un intervalo continuo de tiempo, área o volumen, sin un máximo teórico; por ejemplo, coches que pasan por un peaje en una hora.

Cuando n es grande y p pequeña, la binomial se aproxima bien con una Poisson de λ = n · p. Una regla práctica es usarla si n ≥ 20 y p ≤ 0,05, o si n ≥ 100 y n · p ≤ 10.

Cómo usar la calculadora paso a paso

1. Escribe la tasa media λ del intervalo que te interesa (si tienes 6 sucesos por día y preguntan por medio día, λ = 3).
2. Escribe el número de sucesos k, un entero mayor o igual que 0.
3. Pulsa «Calcular probabilidades».
4. Elige en la tabla la probabilidad que corresponde a tu pregunta (exacta, como máximo, al menos…).

Si trabajas con datos reales de conteo, puedes ajustar modelos de Poisson con programas gratuitos como Jamovi o PSPP. Para probabilidades de variables continuas, usa la calculadora Z.

Errores frecuentes con la distribución de Poisson

• No ajustar λ al intervalo. Si la tasa es de 6 sucesos por día y la pregunta se refiere a 8 horas, λ debe ser 6 · 8 / 24 = 2. Usar la tasa de otro intervalo es el error más común en los ejercicios.
• Confundir «al menos» con «más de». «Al menos 3» es P(X ≥ 3), que incluye el 3; «más de 3» es P(X > 3), que no lo incluye. La calculadora muestra ambas para que no haya dudas.
• Aplicarla a datos con sobredispersión. Si la varianza observada es claramente mayor que la media, los sucesos tienden a agruparse y el modelo de Poisson subestima las probabilidades de valores extremos; en ese caso se usan modelos como la binomial negativa.
• Usar valores de k no enteros. La variable de Poisson cuenta sucesos, así que k solo puede ser 0, 1, 2, etc. En cambio, λ sí puede tener decimales.

Cómo redactarlo en un trabajo académico

«Considerando que las llegadas siguen una distribución de Poisson con una tasa media de 3 pacientes por hora, la probabilidad de recibir al menos 2 pacientes en una hora es P(X ≥ 2) = 0,801.»

Justifica brevemente por qué el modelo es razonable (independencia y tasa constante) y de dónde sale λ, por ejemplo la media de un registro histórico.

Preguntas frecuentes sobre la distribución de Poisson

¿Qué significa λ (lambda) en la distribución de Poisson?

λ es la tasa media de sucesos en el intervalo que analizas. No es una probabilidad, sino un número positivo: si λ = 4,2 llamadas por hora, esperas recibir de media 4,2 llamadas cada hora. Además de la media, λ es la varianza de la distribución.

¿Puedo usar Poisson si los sucesos no son del todo independientes?

La independencia es una condición del modelo. Si hay una dependencia clara (por ejemplo, una llamada suele provocar otra), las probabilidades de Poisson pueden no ser fiables. Con dependencias débiles se usa como aproximación, pero conviene mencionarlo como limitación.

¿Cómo calculo la probabilidad entre dos valores, por ejemplo entre 5 y 10 sucesos?

Usa la acumulada: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Para P(5 ≤ X ≤ 10), calcula P(X ≤ 10) con k = 10 y réstale P(X ≤ 4) con k = 4. Con λ = 4,5 el resultado es 0,4612.

¿La distribución de Poisson es lo mismo que la normal?

No. La distribución normal es continua y simétrica; la de Poisson es discreta (conteos) y asimétrica, sobre todo con λ pequeña. Cuando λ es grande (más de 20, aproximadamente), la Poisson se parece a una normal con media λ y varianza λ.

¿Por qué P(X ≥ 0) vale siempre 1?

Porque «cero sucesos o más» incluye todos los resultados posibles de un conteo. Por eso, cuando k = 0, la calculadora devuelve P(X ≥ k) = 1, y P(X = 0) coincide con P(X ≤ 0).

Puedes encontrar más calculadoras en la sección de probabilidad.

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