Prueba z para dos proporciones

Cuándo usar la prueba z para dos proporciones

La prueba z para dos proporciones es una herramienta de inferencia estadística que te permite comparar la proporción de una característica entre dos grupos independientes. Se utiliza cuando la variable de resultado es dicotómica, es decir, tiene dos categorías mutuamente excluyentes: por ejemplo, aprobar o no aprobar, comprar o no comprar, estar de acuerdo o en desacuerdo. Esta prueba es especialmente útil en trabajos académicos como TFG, TFM o tesis, donde se busca evidencia empírica para responder preguntas de investigación.

Un ejemplo típico sería comparar la proporción de mujeres y hombres que utilizan una red social. O comparar la tasa de éxito de dos tratamientos médicos. En ambos casos, los grupos son independientes porque los sujetos de un grupo no están relacionados con los del otro.

Antes de aplicar la prueba, debes verificar los supuestos. Primero, las muestras deben ser independientes. Segundo, el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para que la aproximación normal sea válida. Una regla práctica ampliamente aceptada es que los productos n1·p1, n1·(1-p1), n2·p2 y n2·(1-p2) sean mayores o iguales a 5. Si esa condición no se cumple, conviene recurrir a la prueba exacta de Fisher. Tercero, cada observación debe ser independiente dentro de cada muestra; esto suele garantizarse con un muestreo aleatorio simple.

También es importante recordar que esta prueba valora la diferencia entre proporciones, no la magnitud del efecto ni la causalidad. Un resultado significativo indica que la diferencia observada es poco probable bajo la hipótesis nula, pero no explica por qué se produce esa diferencia.

Fórmula

Supongamos que tenemos dos grupos independientes. En el grupo 1 observamos x1 éxitos en n1 sujetos, y en el grupo 2 observamos x2 éxitos en n2 sujetos. Definimos las proporciones muestrales p1 = x1/n1 y p2 = x2/n2. La hipótesis nula es que las proporciones poblacionales son iguales (p1 = p2). Bajo esta hipótesis, la mejor estimación de la proporción común es la proporción combinada:

p = (x1 + x2) / (n1 + n2)

Esta p combinada se utiliza para calcular el error estándar de la diferencia. El estadístico de prueba se define como:

z = (p1 – p2) / √[ p(1 – p)(1/n1 + 1/n2) ]

El estadístico z sigue aproximadamente una distribución normal estándar cuando las condiciones descritas anteriormente se cumplen. Con él podemos obtener el valor p bilateral:

valor p = 2 · (1 – Φ(|z|))

donde Φ es la función de distribución acumulada de la normal estándar. El valor p representa la probabilidad de obtener una diferencia muestral tan grande o más grande que la observada, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Si ese valor p es menor que tu nivel de significancia prefijado (por ejemplo 0.05), rechazas la hipótesis nula. No olvides que la significancia estadística no equivale a significancia práctica; debes evaluar también el tamaño del efecto y su relevancia en tu campo.

Si necesitas calcular el valor p a partir del estadístico z de manera rápida, puedes usar nuestra calculadora de valor p. También conviene complementar el resultado con un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones, porque así obtendrás un rango de valores plausibles que ayuda a interpretar la magnitud del efecto.

Ejemplo resuelto

Vamos a resolver paso a paso un ejemplo académico. Supón que investigas si el rendimiento académico difiere entre estudiantes que asisten regularmente a tutorías y los que no. Datos:

• Grupo 1 (con tutoría): x1 = 45, n1 = 100, p1 = 0.45
• Grupo 2 (sin tutoría): x2 = 30, n2 = 100, p2 = 0.30

La diferencia observada es p1 – p2 = 0.15. Ahora aplicamos la prueba z.

1. Calcular la proporción combinada: p = (45 + 30) / (100 + 100) = 75 / 200 = 0.375
2. Calcular el error estándar: √[0.375 · 0.625 · (1/100 + 1/100)] = √[0.234375 · 0.02] = √0.0046875 ≈ 0.06847
3. Calcular z: z = 0.15 / 0.06847 ≈ 2.1909
4. Calcular el valor p bilateral: usando la aproximación normal, 2 · (1 – Φ(2.1909)) = 0.0285

Interpretación: con un nivel de significancia del 5%, el valor p (0.0285) es menor que 0.05, por lo que rechazamos la hipótesis nula de igualdad de proporciones. Concluimos que existe una diferencia estadísticamente significativa entre los dos grupos: la proporción de aprobados es mayor en el grupo que recibió tutoría.

Es aconsejable reportar también el intervalo de confianza al 95 % para diferencias de proporciones. Aunque el cálculo manual es más complejo, puedes usar la calculadora de intervalo de confianza para obtenerlo. Un intervalo que no contiene el cero apoya la conclusión de significancia estadística.

Relación con la chi cuadrado

La prueba z para dos proporciones está estrechamente vinculada con la prueba de chi cuadrado de independencia. Si colocas los datos de dos proporciones en una tabla de contingencia de 2×2, la prueba chi cuadrado de Pearson y la prueba z producen resultados equivalentes. De hecho, el estadístico z al cuadrado es exactamente igual al estadístico chi cuadrado (con 1 grado de libertad). En nuestro ejemplo, z = 2.1909, z² ≈ 4.800; el valor p asociado a la chi cuadrado con 1 grado de libertad es el mismo que el valor p bilateral de la prueba z.

¿Cuál usar? En la práctica, muchas personas eligen la chi cuadrado porque aparece de manera directa en software estadístico como SPSS. La prueba z tiene la ventaja de permitir hipótesis unilaterales y de proporcionar directamente el valor de la diferencia p1 – p2 con su error estándar. Además, la prueba z se generaliza a comparación de más de dos proporciones mediante otros métodos (por ejemplo, la chi cuadrado general).

Conviene tener en cuenta que, para tablas 2×2, algunos autores recomiendan la corrección por continuidad de Yates en la chi cuadrado. Sin embargo, esa corrección puede ser demasiado conservadora. La equivalencia exacta entre z al cuadrado y chi cuadrado se establece sin la corrección de Yates. Por eso, si utilizas una calculadora estándar de z, obtendrás el mismo valor p que con una chi cuadrado sin corrección.

Preguntas frecuentes

1. ¿La prueba z para dos proporciones es lo mismo que la prueba de proporciones en SPSS? Sí, SPSS incluye la prueba z para dos proporciones en el módulo de comparar proporciones, y también mediante tablas cruzadas con la prueba chi cuadrado. El resultado es equivalente si interpretas correctamente la hipótesis.

2. ¿Qué significa que el valor p sea exactamente 0.05? Ese valor p es un umbral común, pero la decisión de rechazar la hipótesis nula depende de tu nivel de significancia prefijado antes del estudio. Si estableciste α = 0.05, el valor p de 0.05 se considera marginal; algunos lo tratan como significativo y otros no. Lo honesto es reportar el valor p exacto y dejar que el lector decida.

3. ¿Puedo usar esta prueba si mis proporciones son muy cercanas a 0 o a 1? Si las proporciones combinadas p o (1-p) son muy cercanas a 0 o a 1, la aproximación normal puede ser deficiente incluso con muestras relativamente grandes. En esos casos, conviene usar métodos exactos o la prueba de Fisher. La calculadora mostrará un error si la proporción combinada es exactamente 0 o 1, porque la varianza se hace cero y la prueba no está definida.

4. ¿Qué diferencia hay entre la prueba z y la prueba t para dos muestras? La prueba t se utiliza para comparar medias de variables numéricas continuas (como edad, ingreso), mientras que la prueba z para dos proporciones sirve para variables dicotómicas (como éxito/fracaso). Además, en la prueba t de poblaciones independientes se asume que las muestras siguen una distribución normal y se estiman las varianzas. La prueba z de proporciones usa la distribución binomial y se aproxima a la normal para muestras grandes.

5. ¿Qué debo incluir en el informe final de mi trabajo cuando uso esta prueba? Debes describir la hipótesis planteada, el nivel de significancia elegido, los datos de cada grupo (éxitos y totales), el valor del estadístico z, el valor p exacto y la interpretación en contexto. También puedes añadir un intervalo de confianza de la diferencia para cuantificar la precisión. Si usaste algún software, indícalo y, si es posible, adjunta la salida.